مثلث دلخواه رسم کنید و آن را $ABC$ بنامید. نیمسازهای دو زاویهٔ این مثلث را رسم کنید و نقطهٔ برخورد آن‌ها را $O$ بنامید. از نقطهٔ $O$ بر سه ضلع مثلث عمود رسم کنید و پای یکی از عمودها را $H$ بنامید. به مرکز $O$ و به شعاع $OH$ دایره‌ای رسم کنید. اضلاع مثلث $ABC$ نسبت به این دایره چه وضعیتی دارند؟ چرا؟
## وضعیت اضلاع مثلث نسبت به دایره
**۱. تعریف نقطهٔ $O$**: نقطهٔ $O$ محل تلاقی نیمسازهای دو زاویهٔ مثلث است. **مرکز دایرهٔ محاطی** مثلث، محل تلاقی نیمسازهای **هر سه** زاویهٔ مثلث است. بنابراین، $O$ مرکز دایرهٔ محاطی $\triangle ABC$ است.
**۲. خاصیت نیمساز**: هر نقطه روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع زاویه به یک فاصله است.
**۳. شعاع دایرهٔ محاطی**: فاصلهٔ مرکز دایرهٔ محاطی ($O$) تا هر یک از اضلاع مثلث، برابر با **شعاع دایرهٔ محاطی** ($r$) است.
اگر از $O$ بر سه ضلع عمود رسم کنیم و پای آن‌ها $H_1, H_2, H_3$ باشند، آنگاه: $$OH_1 = OH_2 = OH_3$$
شعاع دایرهٔ رسم شده برابر $r = OH$ است.
**۴. وضعیت اضلاع**: فاصلهٔ مرکز دایرهٔ ($O$) تا هر سه ضلع مثلث برابر با شعاع ($OH$) است. خطی که فاصلهٔ آن از مرکز دایره برابر شعاع باشد، بر دایره **مماس** است.
$$\text{وضعیت}: \text{هر سه ضلع مثلث } ABC \text{ بر محیط دایرهٔ رسم شده **مماس** هستند.}$$
فرض کنید نقطهٔ $A$ به فاصلهٔ $4 \text{ سانتی‌متر}$ از خط $d$ باشد. روش رسم هر یک از مثلث‌های زیر را توضیح دهید.
الف) مثلثی متساوی‌الساقین که $A$ یک رأس آن و قاعده‌اش بر خط $d$ منطبق باشد.
ب) مثلثی که شرایط (الف) را داشته باشد و طول ساق آن $6 \text{ سانتی‌متر}$ باشد.
پ) مثلثی رسم کنید که شرایط قسمت (الف) را داشته باشد و مساحت آن $8 \text{ cm}^2$ باشد.
نقطهٔ $A$ از خط $d$ به فاصلهٔ $h = 4 \text{ سانتی‌متر}$ است ($d(A, d) = 4$).
## الف) رسم مثلث متساوی‌الساقین با رأس $A$ و قاعده روی $d$
1. از نقطهٔ $A$ عمودی بر خط $d$ رسم کنید. پای عمود را $H$ بنامید ($AH = 4$).
2. نقطهٔ $H$، **نقطهٔ میانی** قاعدهٔ مثلث متساوی‌الساقین است.
3. یک پاره‌خط دلخواه روی خط $d$ در نظر بگیرید که $H$ وسط آن باشد. برای مثال، دو نقطهٔ $B$ و $C$ را روی خط $d$ طوری انتخاب کنید که $HB = HC$ باشد. (مثلاً $HB = HC = 3 \text{ cm}$).
4. با وصل کردن $A$ به $B$ و $A$ به $C$، مثلث $ABC$ تشکیل می‌شود. ($AB = AC$)
---
## ب) رسم مثلث متساوی‌الساقین با طول ساق $6 \text{ cm}$
1. مانند قسمت (الف)، عمود $AH$ را بر خط $d$ رسم کنید. ($AH = 4$).
2. پرگار را به اندازهٔ **طول ساق** ($6 \text{ سانتی‌متر}$) باز کنید.
3. به مرکز **رأس $A$**، کمانی رسم کنید تا خط $d$ را قطع کند. نقاط تقاطع را $B$ و $C$ بنامید.
4. با وصل کردن $A$ به $B$ و $A$ به $C$، مثلث $ABC$ با طول ساق $AB = AC = 6 \text{ cm}$ به دست می‌آید. (چون فاصلهٔ $A$ تا $d$ ($4$) از طول ساق ($6$) کوچکتر است، کمان خط را در دو نقطه قطع می‌کند.)
---
## پ) رسم مثلث متساوی‌الساقین با مساحت $8 \text{ cm}^2$
1. **محاسبهٔ طول قاعده**: مساحت مثلث برابر است با $\frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}$. در اینجا $A$ رأس و $d$ قاعده است، پس ارتفاع $h = d(A, d) = 4 \text{ cm}$.
$$\text{مساحت} = 8 = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times 4$$
$$\Rightarrow 8 = 2 \times \text{قاعده} \Rightarrow \text{قاعده} = 4 \text{ cm}$$
2. مانند قسمت (الف)، عمود $AH$ را بر خط $d$ رسم کنید. ($AH = 4$).
3. روی خط $d$، دو نقطهٔ $B$ و $C$ را طوری انتخاب کنید که طول قاعده $BC$ برابر $4 \text{ سانتی‌متر}$ و $H$ وسط آن باشد. (بنابراین $HB = HC = 2 \text{ cm}$).
4. با وصل کردن $A$ به $B$ و $A$ به $C$، مثلث $ABC$ با مساحت $8 \text{ cm}^2$ رسم می‌شود.
